갑자기 1+1=2 에 대한 설명이 떠올랐다.

어렸을 때를 떠올리면 1+1이 2가 된다는 것은 매우 의심스러운 사실이었다. 진흙으로 만든 공 2개를 겹치면 더 큰 진흙공 1개가 되어버리기 때문이다. 1개의 사과를 5개로 쪼개면 5개의 사과조각이 되지만 숫자만 가지고 보면 1=5가 된다. 이런 다양한 사례가 있음에도 불구하고 1+1이 반드시 2가 된다고 가르칠 때마다 나는 그것을 인정할 수 없었다. 이런 불만을 어머니에게 말하면 어머니는 내가 유난을 떤다고 생각했고 항상 받아들이라고 종용하기 일쑤였다. 그래서 결국, 나는 학교에는 1+1이 반드시 2가 되는 이유를 알 수 없는 규칙이 있다고 생각했다. 즉, 일종의 게임 규칙처럼 학교에서 물어볼 때, 1+1은 반드시 2라고 답해야 한다고 생각한 것이다.

 

그리고 이때부터 세상에는 내가 모르는 암묵적인 규칙이 있을지 모른다는 두려움에 떨었다. 그건 마치 이것과 같았는데 현실에선 거리에서 돈을 주웠을 때 그 돈을 찾아주는 사람이 거의 없음에도 도덕 시험지에는 그 돈을 찾아준다고 기입하게끔 되어있는 것과 마찬가지라고 생각했다. 즉, 학교에서 가르친 것은 현실적으로 납득할 수 있는 상식이나 진리와는 상관없이 학교의 규칙대로 말하고 따르는 법을 익히는 사람을 원한다고 생각하게 된 것이다. 그러니 공부를 하고 학문을 한다는 것이 스스로의 생각을 구체화하고 발전시키는 것이 아니라 단지, 규칙을 받아들여서 이를 응용해서 잘 한다는 것을 보여주는 것처럼만 느껴졌다.

 

그러다가 대학에 들어가서 수학사 관련 책을 읽다가 알게 된 것인데, 원래 지식의 구조가 그랬다. 즉, 가장 완벽한 논리적 정합성을 갖춘 증명된 지식도 그 밑바닥에는 증명하기 어려운 어떤 주어진 사실이 존재한다는 것이다. 그것은 처음부터 당연하다는 듯이 암묵적으로 사실로 받아들여지는 것이다.

 

가령, 유클리드 기하학의 전제는 완벽한 평면이다. 그런 완벽한 평면에서는 평행하는 두 직선이 서로 마주치지도 않고, 삼각형의 세 각의 합은 반드시 180도를 이룬다. 하지만 지구 표면처럼 동그란 구면을 전제로 한다면 평행하는 두 직선은 끝에서 만나고 삼각형의 세 각의 합은 180도 보다 커진다. 

 

1+1이 2가 되는 것도 이러한 암묵적인 전제가 있다. 그것은 어떤 기준이 존재한다는 것이다. 즉, 1을 기준으로 볼 때, 2가 되는 것이다. 진흙공 2개를 겹치면 진흙공 1개가 되지만 당초 진흙공 1개를 기준으로 보면 2개 분량인 셈이다. 사과 1개를 기준으로 볼 때, 사과를 5개로 쪼개면 각 사과 조각은 원래의 1개의 사과를 기준으로 볼 때 1/5개의 사과가 되는 것이다. 이러한 기준이라는 말을 매번 집어넣지 않으니 나처럼 머리가 나쁜 사람은 1+1=2를 이해할 수 없었던 것이다.

 

물론, 기준이 바뀌면 계산식도 바뀐다. 만일, 우리가 기준을 개체의 개수로 바꾼다면 각각 1개씩 2개의 개체가 합해져서 다시 1개의 개체가 될 수 있다. 그러므로 1+1=1이 되고 5=1이 될 수도 있다. 그것은 우리가 지금 숫자로 세는 것이 어떤 기준을 따르는 지를 명확히 한다면 아이들하고 같이 다양한 방식의 숫자 세기를 해볼 수 있을 것이다. 

 

가끔 이런 날이 있다. 뜬금없이 오랫동안 묵혀서 이젠 그 존재조차 희미해진 문제가 뜬금없이 생각나고 갑작스럽게 문제가 해결되어 버리는 날이다. 이 뜬금없는 축복이 기꺼워 글을 쓴다. 물론, 이 글은 당시의 내가 납득할지도 모르는 설명이다. 버트란드 러셀이나 화이트헤드의 복잡하고 어려운 논리적 증명과는 관계가 없으니 행여나 오해가 없었으면 좋겠다.

 

마지막으로 재미있는 것은 1+1이 2가 되는 것에 항상 의문을 가졌음에도 이 규칙을 기반으로 다음 단계인 곱하기로 넘어가 구구단을 외우게 되었을 때에는 이러한 의문을 풀고 싶은 욕구가 사라져 버린 것이다. 오히려, 그냥 1+1이 2가 되는 세상이어야 한다고 생각해버렸다. 왜냐하면 구구단을 힘들게 공부하고 나니 그것이 근본적으로 불안한 기반 위에 있는 것이라는 생각 자체가 큰 부담이 되어버린 것이다. 그래서 모든 것을 의심하던 소년이 이번에는 그 사실을 부정당할까봐 편집증적으로 그것을 방어하게 되었다.

 

살다보니 공부하는 과정이 매번 그런 식이었다. 납득하기도 어렵고 이해하기도 어려운 것을 툴툴거리면서 공부하다가 그것을 응용하여 이것저것 사용할 수 있는 수준이 되어버리니 그 납득하기 어려운 점이라는 부분을 애써 지워버리고 무마하는 과정의 반복이었던 것이다. 이제라도 먼 옛날의 의문점 하나를 풀어서 다행이다.