책 씹어먹는 즐거움

어렸을 때를 떠올리면 1+1이 2가 된다는 것은 매우 의심스러운 사실이었다. 진흙으로 만든 공 2개를 겹치면 더 큰 진흙공 1개가 되어버리기 때문이다. 1개의 사과를 5개로 쪼개면 5개의 사과조각이 되지만 숫자만 가지고 보면 1=5가 된다. 이런 다양한 사례가 있음에도 불구하고 1+1이 반드시 2가 된다고 가르칠 때마다 나는 그것을 인정할 수 없었다. 이런 불만을 어머니에게 말하면 어머니는 내가 유난을 떤다고 생각했고 항상 받아들이라고 종용하기 일쑤였다. 그래서 결국, 나는 학교에는 1+1이 반드시 2가 되는 이유를 알 수 없는 규칙이 있다고 생각했다. 즉, 일종의 게임 규칙처럼 학교에서 물어볼 때, 1+1은 반드시 2라고 답해야 한다고 생각한 것이다.

그리고 이때부터 세상에는 내가 모르는 암묵적인 규칙이 있을지 모른다는 두려움에 떨었다. 그건 마치 이것과 같았는데 현실에선 거리에서 돈을 주웠을 때 그 돈을 찾아주는 사람이 거의 없음에도 도덕 시험지에는 그 돈을 찾아준다고 기입하게끔 되어있는 것과 마찬가지라고 생각했다. 즉, 학교에서 가르친 것은 현실적으로 납득할 수 있는 상식이나 진리와는 상관없이 학교의 규칙대로 말하고 따르는 법을 익히는 사람을 원한다고 생각하게 된 것이다. 그러니 공부를 하고 학문을 한다는 것이 스스로의 생각을 구체화하고 발전시키는 것이 아니라 단지, 규칙을 받아들여서 이를 응용해서 잘 한다는 것을 보여주는 것처럼만 느껴졌다.

그러다가 대학에 들어가서 수학사 관련 책을 읽다가 알게 된 것인데, 원래 지식의 구조가 그랬다. 즉, 가장 완벽한 논리적 정합성을 갖춘 증명된 지식도 그 밑바닥에는 증명하기 어려운 어떤 주어진 사실이 존재한다는 것이다. 그것은 처음부터 당연하다는 듯이 암묵적으로 사실로 받아들여지는 것이다.

가령, 유클리드 기하학의 전제는 완벽한 평면이다. 그런 완벽한 평면에서는 평행하는 두 직선이 서로 마주치지도 않고, 삼각형의 세 각의 합은 반드시 180도를 이룬다. 하지만 지구 표면처럼 동그란 구면을 전제로 한다면 평행하는 두 직선은 끝에서 만나고 삼각형의 세 각의 합은 180도 보다 커진다. 

1+1이 2가 되는 것도 이러한 암묵적인 전제가 있다. 그것은 어떤 기준이 존재한다는 것이다. 즉, 1을 기준으로 볼 때, 2가 되는 것이다. 진흙공 2개를 겹치면 진흙공 1개가 되지만 당초 진흙공 1개를 기준으로 보면 2개 분량인 셈이다. 사과 1개를 기준으로 볼 때, 사과를 5개로 쪼개면 각 사과 조각은 원래의 1개의 사과를 기준으로 볼 때 1/5개의 사과가 되는 것이다. 이러한 기준이라는 말을 매번 집어넣지 않으니 나처럼 머리가 나쁜 사람은 1+1=2를 이해할 수 없었던 것이다.

물론, 기준이 바뀌면 계산식도 바뀐다. 만일, 우리가 기준을 개체의 개수로 바꾼다면 각각 1개씩 2개의 개체가 합해져서 다시 1개의 개체가 될 수 있다. 그러므로 1+1=1이 되고 5=1이 될 수도 있다. 그것은 우리가 지금 숫자로 세는 것이 어떤 기준을 따르는 지를 명확히 한다면 아이들하고 같이 다양한 방식의 숫자 세기를 해볼 수 있을 것이다. 

가끔 이런 날이 있다. 뜬금없이 오랫동안 묵혀서 이젠 그 존재조차 희미해진 문제가 뜬금없이 생각나고 갑작스럽게 문제가 해결되어 버리는 날이다. 이 뜬금없는 축복이 기꺼워 글을 쓴다. 물론, 이 글은 당시의 내가 납득할지도 모르는 설명이다. 버트란드 러셀이나 화이트헤드의 복잡하고 어려운 논리적 증명과는 관계가 없으니 행여나 오해가 없었으면 좋겠다.

마지막으로 재미있는 것은 1+1이 2가 되는 것에 항상 의문을 가졌음에도 이 규칙을 기반으로 다음 단계인 곱하기로 넘어가 구구단을 외우게 되었을 때에는 이러한 의문을 풀고 싶은 욕구가 사라져 버린 것이다. 오히려, 그냥 1+1이 2가 되는 세상이어야 한다고 생각해버렸다. 왜냐하면 구구단을 힘들게 공부하고 나니 그것이 근본적으로 불안한 기반 위에 있는 것이라는 생각 자체가 큰 부담이 되어버린 것이다. 그래서 모든 것을 의심하던 소년이 이번에는 그 사실을 부정당할까봐 편집증적으로 그것을 방어하게 되었다.

살다보니 공부하는 과정이 매번 그런 식이었다. 납득하기도 어렵고 이해하기도 어려운 것을 툴툴거리면서 공부하다가 그것을 응용하여 이것저것 사용할 수 있는 수준이 되어버리니 그 납득하기 어려운 점이라는 부분을 애써 지워버리고 무마하는 과정의 반복이었던 것이다. 이제라도 먼 옛날의 의문점 하나를 풀어서 다행이다. 

효과적인 학습을 위하여 지식을 구조화하는 20가지 규칙 원문 링크는 다음과 같다.

https://www.supermemo.com/en/articles/20rules

상당수 의역이 있으니 잘 이해가 가지 않거나 원문이 궁금하신 분은 원문을 참고하시길 바란다.

효과적인 학습을 위하여 지식을 구조화하는 20가지 규칙(4)

(The 20 rules of formulating knowledge in learning)

4. 최소 정보의 원칙을 고수해야 한다.

학습할 내용은 최대한 단순하게 구조화해야 한다. 

단순한 내용은 기억하기 쉽다. 내용이 단순할수록 두뇌가 학습한 내용을 항상 동일한 방식으로 처리하도록 하는 것이 쉬워지기 때문에 기억하기 쉬워지는 것이다. 미궁을 떠올려 보자. 신경망을 복잡하게 얽힌 경로로 이루어진 미궁으로 볼 수 있다. 어떤 지식의 조각을 반복하여 학습할 때, 두뇌는 미궁을 통과한다. 미궁을 통과하는 동안 두뇌는 그 미궁의 벽에 길을 만든다. 만일 반복 학습을 할 때마다 오직 고유의 길 하나만 뛸 수 있다면, 그 경로는 끊임없이 이어져 쉽게 따라갈 수 있게 된다. 하지만 다양한 경로의 조합이 있다면 매번 다른 방식으로 길을 만들 것이고 그렇게 만들어진 길들은 복잡해져서 출구를 찾기 어렵게 만든다. 복잡한 내용을 반복 학습할 때마다 세포 수준에서도 서로 다른 시냅스 연결이 활성화되면서 동일한 일이 벌어져 기억하기 어려워진다. 

배운 내용을 SuperMemo와 같은 간격 반복 시스템을 이용하여 최적의 간격으로 복습할 것이라는 전제 하에 말한다. 어떤 지식이 두 개의 하위 항목으로 구성되어 있는데 이를 학습하려고 한다고 생각해보자. 아마도 이 복잡한 지식을 기억하는 것이 더 어렵기 때문에 해당 지식의 복잡한 정도에 맞게 충분히 자주 반복할 필요가 있을 것이다. 하지만 이 복잡한 내용을 두 개의 하위 항목으로 분할하여 각각의 항목을 별개로 학습한다면 각각의 학습 내용이 복잡하지 않으니 각각의 페이스(pace)에 따라서 반복하면 되고 이로 인하여 시간을 절약할 수 있게 된다. 경험이 부족한 학생들은 단순한 하위 항목들로 쉽게 분할될 수 있는 내용들을 하나로 묶어서 하나의 학습 내용으로 만들어내는 경우가 매우 흔하다. 이렇게 복잡한 내용을 단순한 항목들로 분할해서 학습할 사항들을 단순하게 만들면 비록, 학습할 항목 자체는 늘어나게 되지만 오히려 각각의 학습 항목을 반복하는 횟수는 충분히 줄어들어 (1) 복잡한 내용을 반복해서 잊게 되는 경우 (2) 해당 내용을 극단적으로 짧은 주기로 반복하게 되는 경우 (3) 결국 해당 내용을 부분적으로만 기억하게 되는 경우들이 발생하는 것을 생각해보면 훨씬 더 이익이다. 

여기에 딱 맞는 사례가 있다. 아래의 질의를 보자.

우선, 너무 복잡하게 구성되어 있는 잘못 구조화된 사례이다. 

이 질의를 다음과 같이 단순한 사항으로 분할하여 제대로 지식을 구조화 한다.

위의 사례에서 제시한 것과 같은 두 가지 방법을 비교 실험해서 최소 정보의 원칙을 적용할 때 어떤 이점이 있는지 스스로 확인해보고 싶을 수 있다. 이는 특히 장기적인 관점에서 보아야만 그 결과를 볼 수 있다. 즉, 지식을 더 오래 기억해야 할 필요가 있다면 내용을 단순화하는 것이 더 낫다.

위의 사례에서 질문의 길이가 얼마나 짧은지에 주목해서 보길 바란다. 물론 답변이 더 짧다는 점도 마찬가지로 주의해서 보기 바란다. 우리는 한 번의 반복학습에서 최소한의 정보를 기억에서 환기해내고 싶다! 답변도 상상할 수 있는 한 짧기를 원한다!

위에서 제시된 잘못 구조화된 사례에서 배우는 지식과 잘 구조화된 사례에서 배우는 지식이 전적으로 동일한 지식이 아니라는 것을 눈치 챘을 것이다. 예를 들어, 사해에서 사람이 뜨는 이유를 결국 기억해내겠지만, 처음에는 사해가 그런 특성을 가지고 있다는 것을 생각하지 못할 것이다! 게다가 396에서 400으로 반올림하거나 74에서 70으로 반올림하면 약간의 정보가 손실된다. 이것들은 더 많은 질문을 추가하거나 현재의 질의를 더 정교하게 만들어서 해결할 수 있다.

이렇게 단답형으로 학습하게 되면 선생님이 칠판 앞으로 불러서 사해에 대해서 읊어 보라고 할 때, 사해에 대한 설명을 유창하게 암송할 수는 없을 것이다. 그러나 수업시간에 학생들 앞에서 빛나는 것이 학습의 궁극적인 목표는 아니다. 암송이나 시 낭송에 대한 대처하는 방법을 확인하려면 열거(enumeration)에 대한 섹션을 참고하길 바란다. 

효과적인 학습을 위하여 지식을 구조화하는 20가지 규칙 원문 링크는 다음과 같다.

https://www.supermemo.com/en/articles/20rules

상당수 의역이 있으니 잘 이해가 가지 않거나 원문이 궁금하신 분은 원문을 참고하시길 바란다.

효과적인 학습을 위하여 지식을 구조화하는 20가지 규칙(1~3)

(The 20 rules of formulating knowledge in learning)

1. 배우기 전에 먼저 이해해야 한다.

전혀 이해하지도 못한 내용을 배우지 말라는 규칙이라니 누가 이해하지도 않고 배운다는 말인가? 말이 되지 않는 규칙처럼 보일 것이다. 그럼에도 불구하고 놀라울 정도로 많은 학생들이 여전히 그저 반복해서 배우고 익히는 짓을 하고 있다. 대부분의 경우 이것은 어쩔 수 없어서 그럴 수밖에 없기 때문이다. 시험 일정은 딱 고정되어 있는데 현재 사용되고 있는 교과서들과 강의록들은 대부분 정말 통탄을 금할 수 없는 수준이어서 이해가 안되고 시험 시간은 끊임없이 다가오기 때문에 그냥 머릿속에 우겨넣는 것이다.

하지만 다음과 같은 사례를 생각해보자. 독일어를 전혀 이해하지 못해도 독일어로 작성된 역사 교과서를 배우고 익힐 수 있다. 책의 내용은 하나도 모르고 그저 단어를 단어 그 자체로만 익히기만 하면 된다. 그러나 그러한 "닥치고 익히기" 방식은 엄청난 시간이 소모될 것이고 그렇게 엄청난 시간을 들여 배우고 익혀도 그 지식에는 아무런 가치가 없을 것이다. 역사에 관한 독일어 교과서를 억지로 머릿속에 집어넣어도, 여전히 역사에 대해 아무것도 아는 것이 없기 때문이다.

독일어 역사 교과서 사례는 극단적인 사례지만 깊이 음미해볼 필요가 있다. 공부하는 사람들을 보면 종종 학습 자료는 매우 짜임새 있게 잘 정리되어 있지만 공부하는 사람 자신의 이해가 부족하다고 스스로를 비난하는 경향을 보인다. 그리고는 곧 이어 자신의 학습 프로세스를 대량의 쓸모없는 학습 자료로 가득 채우고는 “이걸 열심히 익히면 언젠가 쓸모가 있을 거야”라고 어리석게도 스스로를 합리화하게 된다.

2. 외우기 전에 먼저 배워야 한다.

개별 사실들과 규칙을 암기하기 전에 익힌 지식의 전반적인 그림을 만들어야 한다. 개별적인 지식의 조각이 하나의 일관된 구조물을 구축하는 부품으로서 제대로 작동할 때 해당 지식에 대한 학습의 시간을 극적으로 줄일 수 있게 된다. 이것은 규칙 1(배우기 전에 먼저 이해해야 한다.)에서 언급 된 문제 이해와 밀접한 관련이 있다. 독일어 역사교과서 사례에서 하나의 독일어 단어가 바로 그 지식의 조각과 같은 것이다. 독일어 단어와 독일어 역사를 정확하게 묘사하고 있고, 독일어 역사를 통해서 해당 독일어의 깊은 의미를 느낄 때 학습은 강화되고 깊어진다.

공부를 시작할 때 막연하게 어떤 주제에 대략 관련된 것으로 보이는 사실을 암기하는 식으로 공부를 하지 말아야 한다! 해당 주제에 대한 내용들을 모아놓은 챕터(예 : 내연 기관의 원리)를 읽고 전체 그림을 이해하는 것이 먼저다. 그리고 나서야 개별 질문과 답변(예 : 내연 기관에서 피스톤을 움직이는 것은 무엇인가?) 등을 사용하여 해당 주제를 구체적으로 배우고 익혀야 한다.

3. 기초를 쌓은 뒤에 그 위에 지식을 구축해야 한다.

규칙 2(외우기 전에 먼저 배워야 한다.)에서 논의된 지식의 전반적인 그림을 만드는 부분에서 그러한 그림을 세부사항가지 전부 완성하려고 할 필요는 없다. 오히려 반대라고 할 수 있다. 그림은 단순할수록 더 좋다. 책의 첫 챕터는 짧을수록 좋다. 간단한 모델이야말로 이해하기 더 쉽고 훨씬 포괄적이다. 이렇게 이해하기 쉽고 다양하고 넓은 범위를 감당할 수 있는 모델이기 때문에 우리는 언제든지 그 위에 지식을 구축할 수 있다.

기초를 무시하면 안 된다. 너무나도 명백해 보이는 것을 암기하는 것을 시간 낭비라고 생각해서는 안 된다. 그것은 시간 낭비가 아니다! 기초적인 내용들은 너무나 당연하므로 오히려 쉽게 기억에서 잊혀질 수 있다. 그러나 이렇게 쉬운 것들을 암기하는 데는 별다른 시간과 노력이 들지 않는다. 기초를 공부하는 것이 시간 낭비이고 별 필요 없는 것처럼 느껴져 오류를 범하는 것 같더라도 차라리 기초를 공부하지 않는 오류를 범하는 것보다 기초를 공부하는 쪽으로 오류를 범하는 것이 훨씬 안전하다. SuperMemo에서 조사한 결과 간격반복 시스템을 사용하는 사람들은 보통 전체 학습 시간의 50%를 학습한 자료의 3~5%를 반복하면서 소비하는 경향을 보인다고 한다. 이는 기초적인 내용이 없기 때문에 끊임없이 해당 내용이 반복되는 것이다. 기초적인 내용들은 보통 그 기억을 유지하기도 쉽고 공부하는데도 시간이 별로 소모되지 않는다. 그러나 기초적인 내용을 잊는 순간 값비싼 대가를 치르게 될 수도 있다!

알 수 없는 질병과 고통으로 삶이 밑바닥을 쳤을 때,

자신의 생각이 이해되지 않고 행동은 제어되지 않았을 때,

그리고 자존감이 밑바닥을 쳤을 때,

평생 이루지 못하던 것, 회피하던 것에 도전해보기로 했다.

한평생 해보지 못한 턱걸이를 성공했을 때, 기뻤다.

훌라후프를 10분 이상 돌리고 나니 성취감이 들었다.

화학 주기율표를 외웠더니 머리가 맑아졌다.

그렇다. 화학 주기율표를 외웠더니 머리가 맑아졌다. 10년 내에 가장 맑았다.

머리로 외우느니 몸으로 숙련되고 습관적으로 행하는 것을 선호하는 편이었지만

나이 40대에 익숙하지 않은 문장을 더듬더듬 따라하면서 외우는 것이 복잡한 생각을 버리고 집중하기에 좋았다.

이후, 많은 기억술 계열도 살펴보았지만 단순히 정보를 빨리 외우는 것보다는

좋은 것을 외우고 그 뜻을 살피면서 내 인생에 밑바닥에서 작동하는 무의식에 집어넣다 보면

단순히 학교 공부에서 시험을 잘보기 위해서 공부하던 때에는 얻을 수 없었던

스스로가 커지고 발전하는 느낌이 들기 시작했다.

또, 그저 독서가 좋아서 책을 한번 흝어보고 그저 공감되는 내용에 공감하고 넘어가던 때와는 비교할 수 없는 충실감이 있었다.

또한, 책을 읽고 요약하고 주요한 내용을 정리해서 암기하는 과정을 반복하다 보니,

머리에 외우는 근육이 생기는 것 같다. 근육이 강해지면서 점점 암기가 수월해지는 것이 느껴진다.

운동에 스쿼트가 있다면, 정신을 단련하는데는 정신을 집중하고 암기하는 것이 최고인 듯 싶다.

흥미로운 것들, 갈구하는 것들을 다른 책을 찾아 읽어보자.

그리고 읽고 정리하고 암기하자. 머리는 맑아지고 정신은 튼튼해지고 영혼은 살찔 것이며 발전은 가속화될 것이다.